Matemática discreta Ejemplos

$| x^{2} + 2 x - 15 | = | x - 3 |$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$ .

$| x - 3 | = | x^{2} + 2 x - 15 |$

Paso 2

Reescribe la ecuación de valor absoluto como cuatro ecuaciones sin barras del valor absoluto.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

$- (x - 3) = x^{2} + 2 x - 15$

$- (x - 3) = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Paso 3

Después de simplificar, solo hay dos ecuaciones únicas por resolver.

$x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$

$x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$

Paso 4

Resuelve $x - 3 = x^{2} + 2 x - 15$ en $x$ .

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Paso 4.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 15 = x - 3$

Paso 4.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 x - 15 - x = - 3$

Paso 4.2.2

Resta $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x - 15 = - 3$

Paso 4.3

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + x - 15 + 3 = 0$

Paso 4.4

Suma $- 15$ y $3$ .

$x^{2} + x - 12 = 0$

Paso 4.5

Factoriza $x^{2} + x - 12$ con el método AC.

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Paso 4.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $1$ .

$- 3, 4$

Paso 4.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 3) (x + 4) = 0$

Paso 4.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Paso 4.7

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.7.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 4.7.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 4.8

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.8.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 4.8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 4.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 4) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 4$

Paso 5

Resuelve $x - 3 = - (x^{2} + 2 x - 15)$ en $x$ .

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Paso 5.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Paso 5.2

Simplifica $- (x^{2} + 2 x - 15)$ .

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Paso 5.2.1

Reescribe.

$0 + 0 - (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$- (x^{2} + 2 x - 15) = x - 3$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} - (2 x) - - 15 = x - 3$

Paso 5.2.4

Simplifica.

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Paso 5.2.4.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$- x^{2} - 2 x - - 15 = x - 3$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 15$ .

$- x^{2} - 2 x + 15 = x - 3$

Paso 5.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Resta $x$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 2 x + 15 - x = - 3$

Paso 5.3.2

Resta $x$ de $- 2 x$ .

$- x^{2} - 3 x + 15 = - 3$

Paso 5.4

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 3 x + 15 + 3 = 0$

Paso 5.5

Suma $15$ y $3$ .

$- x^{2} - 3 x + 18 = 0$

Paso 5.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 3 x + 18$ .

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Paso 5.6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 3 x + 18 = 0$

Paso 5.6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 3 x$ .

$- (x^{2}) - (3 x) + 18 = 0$

Paso 5.6.1.3

Reescribe $18$ como $- 1 (- 18)$ .

$- (x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Paso 5.6.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (3 x)$ .

$- (x^{2} + 3 x) - 1 \cdot - 18 = 0$

Paso 5.6.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 3 x) - 1 (- 18)$ .

$- (x^{2} + 3 x - 18) = 0$

Paso 5.6.2

Factoriza.

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Paso 5.6.2.1

Factoriza $x^{2} + 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 5.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $3$ .

$- 3, 6$

Paso 5.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x - 3) (x + 6)) = 0$

Paso 5.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x - 3) (x + 6) = 0$

Paso 5.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 5.8

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.8.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 5.8.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 5.9

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.9.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 5.9.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 5.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x - 3) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 6$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = 3, - 4, 3, - 6$